Question

（1）已知函数y=

2x-4

（x≥2），求它的反函数．
（2）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=-x²+1在区间[0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）从条件中函数式 y=

2x-4

(x≥2)中反解出x，再将x，y互换即得函数y=

2x-4

（x≥2）的反函数．
（2）利用函数单调性的定义进行证明．任取1＜x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．注意化简f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最简．

解答：解：（1）∵y=

2x-4

(x≥2)，
∴y²=2x-4，（y≥0），
∴x=

y2+4

2

，
∴函数 y=

2x-4

(x≥2)的反函数是y=

x2+4

2

（x≥0），
（2）任取0≤x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=1-x₂²-1+x₁²
=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）=1-x²在[0，+∞）上为单调减函数．

点评：本小题主要考查函数单调性的判断与证明、反函数的知识点，解答（1）题的关键是熟悉求反函数的一般步骤，注意反函数的定义域和值域的求解，本题比较基础．