Question

设实数x，y满足不等式|x|+|y|≤1，若ax+y的最大值为1，则常数a的取值范围是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=y+ax表示直线在y轴上的截距，a表示直线的斜率，只需求出a的取值范围时，可行域直线在y轴上的截距最优解即可．

解答：解：约束条件|x|+|y|≤1对应的平面区域如下图示：
是正方形区域．
x，y上截距都是1和-1
又ax+y表示斜率为-a的一组平行直线，
且在y轴上的截距在-1和1之间．
令z=ax+y，即y=-ax+Z．平移y=-ax．
当a=0显然成立，
当a＞0，因为ax+y的最大值为1，最后过点（0，1），所以：-1≤-a＜0⇒0＜a≤1；
a＜0，因为ax+y的最大值为1，最后过点（0，1），所以：0＜-a≤1⇒-1≤a＜0；
综上得：a∈[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．