Question

在△ABC中，AB、AC边的长分别是2和1，∠A=60°，若AD平分∠BAC交BC于D，则

AD

•

BD

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于AB、AC边的长分别是2和1，∠A=60°，利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=3．利用角平分线的性质可得

BD

DC

=

AB

AC

=

2

1

，BD．在△ABD中，由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos30°，解得AD=

2 3

3

．再利用数量积定义

AD

•

BD

即可得出．

解答： 解：∵AB、AC边的长分别是2和1，∠A=60°，
∴a²=b²+c²-2bccosA=2²+1²-2×2×1cos60°=3．
∴a=

3

．
∵

BD

DC

=

AB

AC

=

2

1

，
∴BD=

2 3

3

，
在△ABD中，由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos30°，
(

2 3

3

)2=2²+AD²-2

3

AD，
解得AD=

2 3

3

．
∴∠B=30°．
∴∠ADB=150°．
∴

AD

•

BD

=|

AD

||

BD

|cos150°
=(

2 3

3

)2×(-

3

2

)
=-

2 3

3

．
故答案为：-

2 3

3

．

点评：本题考查了角平分线的性质、余弦定理、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．