已知且
,函数
,
,记
(1)求函数的定义域及其零点;
(2)若关于的方程
在区间
内仅有一解,求实数
的取值范围.
(1),0;(2)
【解析】
试题分析:(1)均有意义时,
才有意义,即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出
的定义域,函数
的零点,即
,整理得
,对数相等时底数相同所以真数相等,得到
,基础x即为函数
的零点(2)
即
,,应分
和
两种情况讨论
的单调性在求其值域。有分析可知
在这两种情况下均为单调函数,所以
的值域即为
。解关于m的不等式即可求得m。所以本问的重点就是讨论
单调性求其值域。
试题解析:(1)【解析】
(1)(
且
)
,解得
,
所以函数的定义域为
2分
令,则
(*)方程变为
,
,即
解得,
3分
经检验是(*)的增根,所以方程(*)的解为
,
所以函数的零点为
, 4分
(2)∵函数在定义域D上是增函数
∴①当时,
在定义域D上是增函数
②当时,函数
在定义域D上是减函数 6分
问题等价于关于的方程
在区间
内仅有一解,
∴①当时,由(2)知,函数F(x)在
上是增函数
∴∴只需
解得:
或
∴②当时,由(2)知,函数F(x)在
上是减函数
∴ ∴只需
解得:
10分
综上所述,当时:
;当
时,
或
(12分)
考点:对数函数的定义域,函数的零点,复合函数单调性
科目:高中数学 来源:2016届黑龙江省高一上学期期末数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知是定义在
上的不恒为零的函数,且对任意的
都满足
,则
是
A.奇函数 B.偶函数
C.不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
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