Question

已知矩阵A=

3 a 0 -1

，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

Answer 1

分析：（1）点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；
（2）先求矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵A的特征值，进而可求特征向量．

解答：解：（1）由

3 a 0 -1

2   -3

=

3   3

，∴6-3a=3⇒a=1．
（2）由（1）知A=

3 1 0 -1

，则矩阵A的特征多项式为f（λ）=

λ-3 -1 0 λ+1

=（λ-3）（λ+1）
令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为-1与3．
当λ=-1时，4x+y=0
∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为

1   -4

；
当λ=3时，y=0，
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为

1   0

．

点评：本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵A的特征值及其对应的特征向量． 关键是写出特征多项式，从而求得特征值．