Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²+2；则函数f（x）的值域是

{y|y＜-2或y＞2或y=0}

．

Answer 1

分析：根据题意，可得f（x）在区间（0，+∞）上为增函数满足f（x）＞2．由函数是定义在R上的奇函数，得到在区间（-∞，0）上f（x）为增函数且f（x）＜-2，再结合当x=0时f（0）=0，即可写出函数f（x）的值域．

解答：解：∵当x＞0时，f（x）=x²+2，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，满足f（x）＞2，
又∵奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x²+2，
∴当x＜0时，f（-x）=（-x）²+2=x²+2，
得f（x）=-f（-x）=-x²-2，在区间（-∞，0）上为增函数，且f（x）＜-2，
∵当x=0时，奇函数f（x）满足f（0）=0，
∴综上所述，函数f（x）的值域是{y|y＜-2或y＞2或y=0}．
故答案为：{y|y＜-2或y＞2或y=0}

点评：本题给出函数为奇函数且给出在x＞0时的表达式，求函数的值域．着重考查了函数的奇偶性、单调性及其联系和函数值域的求法等知识，属于中档题．