Question

数列a_n的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．则数列a_n（　　）

• A、是等差数列但不是等比数列
• B、是等比数列但不是等差数列
• C、既是等差数列又是等比数列
• D、既不是等差数列又不是等比数列

Answer 1

分析：利用已知条件a_n+1=2s_n，运用递推公式an=

sn-sn-1 n≥2 s1 n=1

转化a_n+1与a_n之间的递推关系a_n+1=3a_n（n≥2），但要注意n≥2，数列从第二项开始的等比数列，而a₂=2S₁=2，则可判断该该数列是从第二项开始的等比数列，而不是等差数列．

解答：解：因为a_n+1=2S_n①
     a_n=2S_n-1（n≥2）②
①-②可得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
∵a₁=1，a₂=2s₁=2a₁=2
所以

a2

a1

≠

a3

a2

 所以数列a_n从第二项开始的等比数列，不是等差数列
故选 D

点评：本题主要运用递推公式转化可得a_n+1与a_n的递推关系，通过等差数列、等比数列的定义判断，两个数列判断的共同点都是要求从第一项起任意一项与前一项的差（或比）都是同一个常数（等比数列要求常数q≠0），所以对两个数列的判断都要注意检验第一项．