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曲线C上任一点到定点(0,
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)的距离等于它到定直线y=-
1
8
的距离.
(1)求曲线C的方程;
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线l1、l2分别交曲线C于A、B两点,且l1⊥l2,设M是AB中点,问是否存在一定点和一定直线,使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.
分析:(1)由抛物线的定义可知:该曲线C是抛物线:x2=
1
2
y

(2)把(1,2)代入抛物线方程满足方程,因此点P在抛物线上.设直线l1:y-2=k(x-1)(k≠0),l2y-2=-
1
k
(x-1)
,分别与抛物线的方程联立可得点A,B的坐标.设线段AB的中点M(x,y),利用中点坐标公式可得点M的轨迹为y=4x2+4x+
5
2
.可知此方程是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得M到定点的距离等于它到定直线的距离.将抛物线方程化为(x+
1
2
)2=
1
4
(y-
3
2
)
,此抛物线可看成是由抛物线x2=
1
4
y
左移
1
2
个单位,上移
3
2
个单位得到的,即可得出定点和定直线.
解答:解:(1)由抛物线的定义可知:该曲线C是抛物线:x2=
1
2
y

(2)把(1,2)代入抛物线方程满足方程,因此点P在抛物线上.
设直线l1:y-2=k(x-1)(k≠0),l2y-2=-
1
k
(x-1)
,由
y=kx+2-k
y=2x2
,化为2x2-kx-2+k=0,
∴xA=
k-2
2
,∴yA=
(K-2)2
2
,即A(
k-2
2
(k-2)2
2
)

同理可得B(
-
1
k
-2
2
(-
1
k
-2)2
2
)

设线段AB的中点M(x,y).则
2x=
k-2
2
+
-
1
k
-2
2
2y=
(k-2)2
2
+
(-
1
k
-2)2
2

化为
4x=k-
1
k
-4
4y=k2+
1
k2
-4(k-
1
k
)+8
,消去k化为y=4x2+4x+
5
2

∴点M的轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得M到定点的距离等于它到定直线的距离.
将抛物线方程化为(x+
1
2
)2=
1
4
(y-
3
2
)
,此抛物线可看成是由抛物线x2=
1
4
y
左移
1
2
个单位,上移
3
2
个单位得到的,
而抛物线x2=
1
4
y
的焦点为(0,
1
16
),准线为y=-
1
16

故所求的定点为(-
1
2
25
16
)
,定直线方程为y=
23
16
点评:本题考查了相互垂直的直线与抛物线相交问题转化为方程联立、抛物线的定义、平移变换等基础知识与基本技能方法,属于难题.
练习册系列答案
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精英家教网如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知P为曲线C上任一点,若P到点F(
1
2
,0)的距离与P到直线x=-
1
2
距离相等
(1)求曲线C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点A、B,
(I)若|AB|=2
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,求直线l的方程;
(II)试问在x轴上是否存在定点E(a,0),使
EA
EB
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2014届甘肃天水一中高二下学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

曲线C上任一点到定点(0,)的距离等于它到定直线的距离.

(1)求曲线C的方程;

(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点,且,设M是AB中点,问是否存在一定点和一定直线,使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.

 

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