Question

11．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，设M椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则λ+μ的取值范围为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a²=3b²．求得右焦点坐标，及AB的方程代入椭圆方程，运用韦达定理，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量$\overrightarrow{OM}$，有且只有一对实数λ，μ，使得等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$成立．由此入手能够求出λ+μ的范围．

解答 解：设椭圆的焦距为2c，因为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以有$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，故有a²=3b²．
从而椭圆C的方程可化为：x²+3y²=3b²①
易知右焦点F的坐标为（$\sqrt{2}$b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-$\sqrt{2}$b②
由①，②有：4x²-6$\sqrt{2}$bx+3b²=0③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
显然$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，
对于这一平面内的向量$\overrightarrow{OM}$，有且只有一对实数λ，μ，使得等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$成立．
设M（x，y），即有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又点在椭圆C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²
整理为λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}b}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}}{4}$．
所以x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-$\sqrt{2}$b）（x₂-$\sqrt{2}$b）
=4x₁x₂-3$\sqrt{2}$b（x₁+x₂）+6b²=3b²+6b²-9b²=0⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．（$\frac{λ+μ}{2}$）²≤$\frac{{λ}^{2}+{μ}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故有-$\sqrt{2}$≤λ+μ≤$\sqrt{2}$．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．