Question

如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证，需先证平面，由于平面易证，故有，又因为，则证得平面；（2）综合法是先找到二面角的一个平面角，不过必须根据平面角的定义证明，然后在中解出的三角函数值.
试题解析：（1）连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，
∴为等边三角形，从而． 3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，       5分
由得，平面，
又平面，
∴．            6分

（2）（综合法）过点作，垂足为，连接．         7分
由（1）知平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，∴，      9分
∴为二面角的平面角．         10分
由（Ⅰ）可知，，
∴，则，
∴在中，，
∴，即二面角的余弦值为．     14分