Question

19．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0），且椭圆C过点P（3，2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，利用椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出k_OP=$\frac{2}{3}$，设与直线OP平行的直线方程为y=$\frac{2}{3}$x+m，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵椭圆C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{10}$，0），
F₂（$\sqrt{10}$，0），且椭圆C过点P（3，2），
由椭圆定义可得2a=$\sqrt{（3+\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（3-\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，即a=3$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=8，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）由k_OP=$\frac{2}{3}$，
设与直线OP平行的直线方程为y=$\frac{2}{3}$x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得8x²+12mx+9m²-72=0．
由判别式△=144m²-32（9m²-72）＞0，解得0＜|m|＜4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$m，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{8}$，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{4}{9}}$•$\sqrt{\frac{9}{4}{m}^{2}-\frac{9{m}^{2}-72}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\frac{\sqrt{144-9{m}^{2}}}{2}$，
点O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$|m|，
即有△PAB面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{|m|\sqrt{144-9{m}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{9{m}^{2}（144-9{m}^{2}）}}{12}$≤$\frac{\sqrt{（\frac{144}{2}）^{2}}}{12}$=6．
当且仅当9m²=144-9m²，即m=±2$\sqrt{2}$时，取得最大值6．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查计算能力，是中档题．