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4.为迎接2015级新生,合肥一中暑期对教学楼窗户作加固,制作如图所示的窗户框架.窗户框架用料12m,下部为矩形,上部为半圆形,假设半圆半径为xm.
(1)求此框架围成的面积y与x的函数关系式y=f(x),并写出它的定义域;
(2)半圆的半径是多长时,窗户的透光面积最大?并求该最大面积.

分析 (1)下部为矩形,上部为半圆形的框架窗户,分别计算其面积,可得框架围成的面积y与x的函数式y=f (x),根据实际意义,可写出它的定义域;
(2)利用配方法,可求函数的最值.

解答 解:(1)由题意可知,下部为矩形,一边长为2x米,另一边长为$\frac{12-πx-2x}{2}$米,
∴f(x)=$\frac{π{x}^{2}}{2}$+2x•$\frac{12-πx-2x}{2}$=(-$\frac{π}{2}$-2)x2+12x,
由$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{\frac{12-πx-2x}{2}>0}\end{array}\right.$,可得0<x<$\frac{12}{π+2}$,
定义域为:(0,$\frac{12}{π+2}$);
(2)∵x∈(0,$\frac{12}{π+2}$),函数的图象开口向下,
即有f(x)=-$\frac{π+4}{2}$(x-$\frac{12}{π+4}$)2+$\frac{72}{π+4}$,
∴当x=$\frac{12}{π+4}$时,函数取最大值,
故当半圆半径为$\frac{12}{π+4}$时,窗户的透光面积的最大值为$\frac{72}{π+4}$m2

点评 本题考查的重点是函数模型的构建及二次函数的最值的求法,解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积.

练习册系列答案
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(1)求BE和BC的长;
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12.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)对每个正整数n,点Pn位于函数y=x2(x≥0)的图象上,以点Pn为圆心的圆Pn与H轴都相切,且圆Pn与圆Pn+1又彼此外切.若x1=1,且xn+1<xn(n∈N+).
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