Question

5．已知中心在原点，左、右顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{21}}{3}$的双曲线C经过点P（6，6），动直线l经过△A₁PA₂的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点．
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0．

Answer 1

分析 （1）根据题意，双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，由双曲线的性质，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{12}{9}$，进而可将双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=λ，λ≠0；将P的坐标代入，可得λ的值，进而可得答案；
（2）首先根据P、A₁、A₂的坐标得到三角形重心G的坐标，再假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设出M、N的坐标，分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则l的方程可以设为y=m（x-2）+2，与双曲线方程联立消去y，可得关于x的一元二次方程，利用$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0，可得（3-x，-y）•（-3，-6）=0，可得答案．

解答 解：（1）根据题意，双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{21}{9}$，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{12}{9}$．
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=λ，λ≠0；
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
所以所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）P、A₁、A₂的坐标依次为（6，6）、（-3，0）、（3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，与双曲线方程联立消去y，
整理得（4-3m²）x²+（12m²-12m）x+3（2-2m）²-36=0．
∴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{6{m}^{2}-6m}{4-3{m}^{2}}$，y=$\frac{8-8m}{4-3{m}^{2}}$
$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0，可得（3-x，-y）•（-3，-6）=0，
∴x+2y-3=0，
∴-$\frac{6{m}^{2}-6m}{4-3{m}^{2}}$+2×$\frac{8-8m}{4-3{m}^{2}}$-3=0
∴m=$\frac{5±\sqrt{13}}{3}$，
∴直线l的斜率为$\frac{5±\sqrt{13}}{3}$时，$\overrightarrow{Q{A}_{2}}$•$\overrightarrow{P{A}_{2}}$=0．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，计算量比较大，解题时，充分利用题干的条件，简化方程，可以降低运算量，提高准确率．