Question

已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-6）=-f（x），且在区间[0，3]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-12，12]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=

-12

．

Answer 1

分析：由条件“f（x-6）=-f（x）”得f（x+12）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，f（x-6）=-f（x）=f（-x）得到对称轴方程，且在[0，3]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．

解答：解：由f（x-6）=-f（x）得f（x+12）=f（x），故周期为12．
又因为f（x-6）=-f（x）=f（-x）
所以对称轴为x=3，
此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，3]上为增函数，
综合条件得函数的示意图，由图看出，
四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-9），
另两个交点的横坐标之和为2×3，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=-12．
故答案为：-12．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．