Question

在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4，  0)，  C(1，  

3

)．
（1）求∠ABC的大小；
（2）设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动
（包括端点），求

OP

•

CM

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量坐标的求法，求出边OA，OC对应的向量的坐标，利用向量的数量积公式求出∠AOC，根据平行四边形的对角相等，得到∠ABC的大小．
（2）根据p在平行于x轴的边上，设出其坐标，求出线段OP，CM对应的向量的坐标，利用向量的数量积公式求出

OP

•

CM

，根据一次函数的单调性求出取值范围．

解答：解：（1）由题意得

OA

=(4，  0)，  

OC

=(1，  

3

)，
因为四边形OABC是平行四边形，
所以 cos∠ABC=cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

4

4×2

=

1

2

．
于是∠ABC=

π

3

．
（2）设P(t，  

3

)，其中1≤t≤5．
于是

OP

=(t，  

3

)，而

CM

=(2，  0)-(1，  

3

)=(1，  -

3

)，
所以

OP

•

CM

=(t，  

3

)•(1，  -

3

)=t-3．
故

OP

•

CM

的取值范围是[-2，2]．

点评：求两个向量的夹角问题，一般先利用向量数量积的坐标形式的公式求出两个向量的数量积，再利用数量积的模、夹角形式求出夹角余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角．