Question

如图，一个多面体的直观图如图a所示，它的正视图和俯视图都是边长为2的正方形，左视图如图b所示．已知M、N分别是AF、BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=.，由此能够证明MN∥面CDEF．
（2）由条件AB⊥AE；AD⊥AE，AD∩AB=A，从而得到AE⊥面ABCD．四棱锥E-ABCD是以AE为高，以矩形ABCD为底面的棱锥，由此能求出棱锥E-ABCD的体积．
解答：（1）证明：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=.，
△BEC中，MN为中位线，故MN∥CE，
又CE?面CDEF，MN?面CDEF，
∴MN∥面CDEF．
（2）解：由条件AB⊥AE，AD⊥AE，AD∩AB=A，
∴AE⊥面ABCD．
四棱锥E-ABCD是以AE为高，以矩形ABCD为底面的棱锥，
在△ADE中，AE=2，S_ABCD=AB•AD=4，
∴棱锥E-ABCD的体积为：．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意三视图的合理运用．