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已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
,且经过点P(
3
1
2
)

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点A(0,-1),直线l与椭圆C交于两点M,N.若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线l的方程.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(Ⅰ)利用椭圆的定义求出a,根据椭圆F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
,求出c,从而可求b,即可求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理,根据|AM|=|AN|,线段MN中点为Q,所以AQ⊥MN,分类讨论,利用△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形,即可求直线l的方程.
解答: 解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)

依题意2a=|PF1|+|PF2|=
12+
1
4
+
1
4
=4
,所以a=2.
c=
3
,所以b2=a2-c2=1.
于是椭圆C的标准方程为
x2
4
+y2=1
.                …(5分)
(Ⅱ)依题意,显然直线l斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,则
x2
4
+y2=1 
y=kx+m
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
因为△=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2-m2+1>0.  …①
设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN中点为Q(x0,y0),则
x1+x2=-
8km
4k2+1
x1x2=
4m2-4
4k2+1

于是x0=-
4km
4k2+1
,  y0=kx0+m=
m
4k2+1

因为|AM|=|AN|,线段MN中点为Q,所以AQ⊥MN.
(1)当x0≠0,即k≠0且m≠0时,
y0+1
x0
k=-1
,整理得3m=4k2+1.      …②
因为AM⊥AN,
AM
=(x1y1+1),
AN
=(x2y2+1)

所以
AM
AN
=x1x2+(y1+1)(y2+1)=(1+k2)x1x2+k(m+1)(x1+x2)+m2+2m+1
=(1+k2)
4m2-4
4k2+1
+k(m+1)(-
8km
4k2+1
)+m2+2m+1=0

整理得5m2+2m-3=0,解得m=
3
5
或m=-1.
当m=-1时,由②不合题意舍去.
由①②知,m=
3
5
时,k=±
5
5

(2)当x0=0时,
(ⅰ)若k=0时,直线l的方程为y=m,代入椭圆方程中得x=±2
1-m2

M(-2
1-m2
,m)
N(2
1-m2
,m)
,依题意,若△AMN为等腰直角三角形,则AQ=QN.
2
1-m2
=|1+m|
,解得m=-1或m=
3
5
.m=-1不合题意舍去,
即此时直线l的方程为y=
3
5

(ⅱ)若k≠0且m=0时,即直线l过原点.
依椭圆的对称性有Q(0,0),则依题意不能有AQ⊥MN,即此时不满足△AMN为等腰直角三角形.
综上,直线l的方程为y=
3
5
5
x-5y+3=0
5
x+5y-3=0
.…(14分)
点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力.
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y≥0
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B、
5
2
C、2
D、
3
2

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OA
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=5
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x2
a2
+
y2
b2
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2
,离心率为
2
2

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3
7
)
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1
2
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18
2
7
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OP
FP
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