Question

14．函数y=$\frac{9}{si{n}^{2}x}$+4sin²x的最小值是13．

Answer 1

分析 令t=sin²x（0＜t≤1），则y=4t+$\frac{9}{t}$，求出导数，判断单调性，即可得到最小值．

解答 解：令t=sin²x（0＜t≤1），
则y=4t+$\frac{9}{t}$的导数为y′=4-$\frac{9}{{t}^{2}}$，
可得0＜t≤1时，y′＜0，
函数递减，则有t=1，即x=2kπ±$\frac{π}{2}$，k∈Z，
函数取得最小值，且为13．
故答案为：13．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和正弦函数的值域，通过导数判断单调性求得最值是解题的关键．