Question

（2013•福建）选修4-5：不等式选讲
设不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集为A，且

3

2

∈A，

1

2

∉A
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

3

2

∈A，

1

2

∉A，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．
（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x-2|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为

3

2

∈A，

1

2

∉A，
所以|

3

2

-2|＜a且|

1

2

-2|≥a，
解得

1

2

＜a≤

3

2

，
因为a∈N^*，所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
当且仅当（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2时取等号，
所以函数f（x）的最小值为3．

点评：本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．