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7.如图,在四面体ABCD中,△ABD,△ACD,△DBC和△ABC全等,且AB=AC=3,BC=2;求证:平面BCD⊥平面ABC.

分析 欲证明平面BCD⊥平面ABC,首先根据二面角的平面角的定义构造出对应的二面角A-BC-D的平面角,求出二面角A-BC-D的大小为90°,从而得到平面BCD⊥平面ABC.

解答 证明:取BC的中点E,连结AE、DE.∵AB=AC,∴AE⊥BC.
又△ABD≌△DBC,AB=AC,
∴DB=DC,DE⊥BC.
∴∠AED为二面角ABCD的平面角.
又△ABC≌△DBC,且△ABC是以BC为底的等腰三角形,
△DBC也是以BC为底的等腰三角形,所以AB=AC=DB=DC=3
又△ABD≌△BDC,∴AD=BC=2.
在Rt△DEB中,DB=3,BE=1,
∴DE=DB2BE2=2
同理,AE=2
在△AED中,AE=DE=2,AD=2,
∴AD2+DE2=AD2,∠AED=90°,
∴二面角A-BC-D的大小为90°.
∴平面BCD⊥平面ABC.

点评 本题考查面面垂直的证明,考虑根据二面角的平面角的定义构造出相应的平面角,而在构造过程中,往往离不开添加垂线,利用线面垂直、面面垂直关系从而达到目的,最后问题通常转化为解三角形.

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