Question

已知△ABC，向量

BC

=(2-k，3)，

AC

=(2，4)，且|

AB

|≤4，k∈Z，求△ABC为直角三角形的概率．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是古典概型，我们根据 |

AB

|≤4及k∈Z易求出满足条件的所有的k，然后分类讨论△ABC是直角三角形时k的取值情况，然后代入古典概型计算公式，即可得到答案．

解答：（本小题满分12分）
解：∵

BC

=(2-k，3)∴

CB

=(k-2，-3)，∴

AB

=

AC

+

CB

=(k，1)．…（2分）
又∵|

AB

|≤4，∴k²+1≤16，k²≤15，∴-

15

≤k≤

15

．…（4分）
又∵k∈Z，∴k=0，±1，±2，±3．…（5分）
若△ABC为直角三角形，则
（i）

AB

•

AC

=0，∴2k+4=0，∴k=-2；…（6分）
（ii）

AB

•

BC

=0，∴k²-2k-3，∴k=3或-1；…（8分）
（iii）

AC

•

BC

=0，∴2（2-k）+12=0，∴k=8（舍去）…（9分）
∴△ABC为直角三角形的k的值为-1，-2，3，而基本事件总数为7…（10分）
由古典概型知，P=

3

7

．
即△ABC为直角三角形的概率为

3

7

．…（12分）

点评：解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．