Question

有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x²+y²=有公共点的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）用（a，b）（a，b分别表示第一、二次取到球的编号）表示先后两次取球构成的基本事件，
则基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12个…（3分）
设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，
则事件A包含的基本事件有：（2，1），（2，4），（4，2）共有3个； …（5分）
∴P（A）== …（6分）
（Ⅱ）基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个…（8分）
设“直线ax+by+1=0与圆x²+y²=有公共点”为事件B，
由题意知：，即a²+b²≥16，
则事件B包含的基本事件有：（1，4），（2，4），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有8个； …（11分）
∴P（B）= …（12分）
分析：（Ⅰ）用（a，b）表示先后两次取球构成的基本事件，列举可得共12个，而要求的事件包含的基本事件有有3个，由古典概型的公式可得答案；
（Ⅱ）同理列出总的基本事件有共16个，由直线和圆的位置关系可得满足的条件为a²+b²≥16，所包含的基本事件共有8个，代入公式可得．
点评：本题考查列举法计算基本事件数即事件发生的概率，准确列举是解决问题的关键，属基础题．