精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
13.已知如图:四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=EB=BC=2,点F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE∥平面BFD;
(2)求二面角C-DE-A的余弦值.

分析 (1)证明:连接AC交BD于G,连结GF,证明BF⊥CE,推出FG∥AE然后证明AE∥平面BFD.
(2)取DE中点H,连结AH,CH,说明∠CHA即为二面角C-DE-A的平面角;在△CHA中,求解二面角C-DE-A的余弦值即可.

解答 解:(1)证明:连接AC交BD于G,连结GF,∵ABCD是矩形.
∴G为AC的中点…1分.
由BF⊥平面ACE得:BF⊥CE,
由EB=BC知:点F为CE中点…2分
∴FG为△ACE的中位线,
∴FG∥AE…3分,
∵AE?平面BFD;FG?平面BFD;
∴AE∥平面BFD;…4分.
(2)由BF⊥平面ACE得:BF⊥AE;
由BC⊥平面ABE得:BC⊥AE,BC⊥BE;
∴AE⊥平面BCE,则AE⊥BE…6分.
在Rt△BCE中,$CE=\sqrt{B{C^2}+B{E^2}}=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$
同理可得:$DE=AB=CD=2\sqrt{2}$,$AC=2\sqrt{3}$;…8分.
∵AD=BC=AE=2.
∴取DE中点H,连结AH,CH,则AH⊥DE,CH⊥DE且$AH=\frac{1}{2}DE=\sqrt{2}$,$CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}DE=\sqrt{6}$…10分
∴∠CHA即为二面角C-DE-A的平面角;
在△CHA中,$cos∠CHA=\frac{{C{H^2}+A{H^2}-A{C^2}}}{2CH•AH}=\frac{{{{(\sqrt{6})}^2}+{{(\sqrt{2})}^2}-{{(2\sqrt{3})}^2}}}{{2\sqrt{6}•\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$;
∴二面角C-DE-A的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.…12分.

点评 本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及计算能力.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

3.点P(x,y)在直线x+y=12运动,则$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{{y}^{2}+16}$的最小值为13.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,是否存在经过原点的直线l与该圆相切,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.双曲线x2-y2=2的右准线方程为x=1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

8.已知直线y=kx+2与曲线$f(x)=|{x+\frac{1}{x}}|-|{x-\frac{1}{x}}|$恰有两个不同的交点,则实数k的取值构成集合是$\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.如图,△ABC内接于圆O,AE平分∠BAC交BC于点D,连接BE.
(1)求证:$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{DC}$;
(2)若△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•AE,求证:BA⊥AC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的长轴长为6,点A为左顶点,B,C在椭圆E上,若四边形OABC位平行四边形,且∠OAB=30°.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)作倾斜角为135°的直线l,交椭圆于P,Q两点,设点F是椭圆的左焦点,求△FPQ的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,D为棱A1B1的中点,E为AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=$\frac{1}{4}$AB.
(1)求证:EF∥平面BC1D;
(2)求VD-EBC1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.四棱锥P-ABCD中底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,面PAD⊥面ABCD,Q为AD的中点,PA=PD=2,AD=2BC=2,CD=$\sqrt{3}$.
①求证:QB⊥面PAD;
②求二面角Q-PA-B的正切值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案