Question

11．定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（1-a）+f（1-2a）＜0．若f（x）是（-1，1）上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据f（x）的奇偶性得出f（1-a）＜-f（1-2a）=f（2a-1），再利用单调性得出1-2a＞2a-1，结合定义域求出a的范围．

解答 解：∵f（1-a）+f（1-2a）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-2a）．
∵f（-x）=-f（x），x∈（-1，1），
∴-f（1-2a）=f（2a-1），
∴f（1-a）＜f（2a-1）．
又∵f（x）是（-1，1）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{1-a＞2a-1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{2}{3}$．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了函数奇偶性与单调性的应用，属于中档题．