Question

已知f（x）是定义在R上，且周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，那么实数a的值为（k∈z）

1. A.
   k
2. B.
   2k
3. C.
   2k或2k-
4. D.
   k或k-

Answer 1

C
分析：利用函数是周期为2的偶函数，作出函数y=f（x）的图象，利用直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，利用数形结合的思想求a的值．
解答：解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当-1≤x≤1时，f（x）=x²．
①由图象可知当直线y=x+a经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时a=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2k时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
②由图象可知直线y=x+a与f（x）=x²相切时，直线y=x+a与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=，所以y=，即切点为（），代入直线y=x+a得a=．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当a=2k时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
综上满足条件的实数a的值为a=2k或a=2k．
故选C．
点评：本题考查了两个曲线的交点问题，要充分利用函数的周期性，利用数形结合的思想去解决，综合性较强．