Question

已知7sin²α+sinαcosα-cos²α=1，α∈[

π

2

，π]，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由已知得

1

2

sin2α-4cos2α+2=0，从而sin2α=8cos2α-4，由此得到cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

，或cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

，进而能求出sin（2α+

π

3

）的值．

解答： 解：∵7sin²α+sinαcosα-cos²α=1，
∴6sin²α+sinαcosα-2cos²α=0，
∴

1

2

sin2α-4cos2α+2=0，
∴sin2α=8cos2α-4，
∴65cos²2α-64cos2α+15=0，
∵a∈[

π

2

，π]，
∴cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

，或cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

，
当cos2α=

3

5

，sin2α=-

4

5

时，
sin（2a+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α
=

1

2

×(-

4

5

)+

3

2

×

3

5

=

3 3 -4

10

；
当cos2α=

5

13

，sin2α=-

12

13

时，
sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α
=

1

2

×(-

12

13

)+

3

2

×

5

13

=

5 3 -12

26

．
故sin（2α+

π

3

）的值为

3 3 -4

10

或

5 3 -12

26

．

点评：本题考查正弦函数的函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．