Question

已知函数在上是增函数，在上为减函数.
（1）求的表达式；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的值；
（3）是否存在实数使得关于的方程在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²；（2）m＞e²-2；（3）2-2ln2＜b≤3-2ln3.

第一问中，利用f′(x)=2(1+x)- 依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.
代入方程解得a=1,
故求得解析式
第二问中，当时，不等式恒成立，只需要求解f(x)的最大值满足即可。第三问中，若存在实数b使得条件成立，方程f(x)=x²+x+b
即为x-b+1-ln(1+x)²=0,构造函数令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
求导得到结论。
解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-=2·,
依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.
（由于x∈，故x₂=-2舍去），
易证函数在上单调递减，
在［0，e-1］上单调递增，
且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,
故当x∈时，f(x)_max=e²-2,
因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.
（3）若存在实数b使得条件成立，
方程f(x)=x²+x+b，即为x-b+1-ln(1+x)²=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
则g′(x)=1-=,
令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,
令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,
故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.