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任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
f(x1)+f(x2)
2
恒成立,则f(x)称为[a,b]上的凸函数.下列函数中①y=2x,②y=log2x,③y=-x2,④y=x 
1
2
在其定义域上为凸函数是(  )
分析:由凸函数的概念,得出凸函数的几何特征,根据几何特征可作出四个函数①y=2x,②y=log2x,③y=-x2,④y=x 
1
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的图象,观察图象即可得到答案.
解答:解:根据题意:任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
f(x1)+f(x2)
2
恒成立,f(x)称为[a,b]上的凸函数知:
在函数y=f(x)的图象上任取不同的两点A、B,线段AB(端点除外)总在f(x)图象的上方,则函数f(x)为凸函数,
分别作出四个函数的图象,如图所示.
∴观察②y=log2x,③y=-x2,④y=x 
1
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在其定义域上的图象,满足凸函数的概念,
∴即②y=log2x,③y=-x2,④y=x 
1
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是凸函数.
故选C.
点评:本题考查函数的图象,关键在于作出符合凸函数的概念的函数图象,考查数形结合的思想,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

若任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
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[f(x1)+f(x2)]
成立,则称f(x)是[a,b]上的凹函数.下列函数为凹函数的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若任取x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
f(x1)+f(x2)
2
成立,则称f(x) 是[a,b]上的凸函数.试问:在下列图象中,是凸函数图象的为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)]
成立,则称f(x)是[a,b]上的凸函数,则下列函数中,是凸函数的为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={x|x=m+n
2
,m,n∈Z}.
(1)设x1=
1
3-4
2
,x2=
9-4
2
,x3=(1-3
2
2,试判断x1,x2,x3与集合A之间的关系;
(2)任取x1,x2∈A,试判断x1+x2,x1•x2与A之间的关系.

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