Question

P(x₀,y₀)(x₀≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.

Answer 1

(1)    (2) λ=0或λ=-4

【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.
(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.
解：(1)由点P(x₀,y₀)(x₀≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意又有·=,
可得a²=5b²,c²=a²+b²=6b²,则e==.
(2)联立方程得
得4x²-10cx+35b²=0,
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则
设=(x₃,y₃),=λ+,
即
又C为双曲线E上一点,即-5=5b²,
有(λx₁+x₂)²-5(λy₁+y₂)²=5b²,
化简得:λ²(-5)+(-5)+2λ(x₁x₂-5y₁y₂)=5b²,
又A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在双曲线E上,
所以-5=5b²,-5=5b².
又x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5(x₁-c)(x₂-c)
=-4x₁x₂+5c(x₁+x₂)-5c²=10b²,
得:λ²+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.