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13.已知动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,且PA=r(0<r<$\sqrt{3}$),记点P的轨迹长度为f(r).给出以下四个命题:
①f(1)=$\frac{3}{2}$π;②f($\sqrt{2}$)=$\sqrt{3}π$;③f($\frac{2\sqrt{3}}{3}$)=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π;
④函数f(r)在(0,1)上是增函数,f(r)在($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$)上是减函数.其中为真命题的是(  )
A.①③B.②③C.①④D.②④

分析 由题意画出图形并得出相应的解析式,画出其图象,经过讨论即可得出答案,

解答 解:如图所示:
(1)当0<r≤1时,f(r)=3×$\frac{π}{2}$×r=$\frac{3π}{2}$r,
(2)当1<r≤$\sqrt{2}$时,在平面ABCD内,设以点A为圆心,r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F,则
cos∠DAF=$\frac{1}{r}$,∠EAF=$\frac{π}{2}$-2∠DAF,
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2$\sqrt{1-\frac{1}{{r}^{2}}}$×$\frac{1}{r}$=$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$,
cos∠EAG=$\frac{2{r}^{2}-(\sqrt{2}\sqrt{{r}^{2}-1})^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$,
∴f(r)=3r•arccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3r•arccos$\frac{1}{{r}^{2}}$;
(3)当$\sqrt{2}$<r≤$\sqrt{3}$时,
∵CM=$\sqrt{{r}^{2}-2}$,
∴C1M=C1N=1-$\sqrt{{r}^{2}-2}$,
∴cos∠MAN=$\frac{2{r}^{2}-{[\sqrt{2}(1-\sqrt{{r}^{2}-2})]}^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$,
∴f(r)=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$,
故f(1)=$\frac{3π}{2}$,故①正确;
f($\sqrt{2}$)=3$\sqrt{2}$•arccos1+3$\sqrt{2}$•arccos$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$π,故②错误;
f($\frac{2\sqrt{3}}{3}$)=2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}π$+2$\sqrt{3}$•arccos$\frac{3}{4}$≠$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π,故③错误;
函数f(r)在(0,1)上是增函数,f(r)在($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$)上是减函数,故④正确;
故正确的命题为:①④
故选:C

点评 本题以命题的真假判断为载体,考查了棱柱的几何特征,三角函数,一次函数的图象和性质,难度中档.

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