Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；
（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
将M（1，2）代入方程得p=2
∴抛物线方程为：y²=4x
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）₁，F₂（1，0），
∴c=1
对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

∴a=1+

2

⇒a2=3+2

2

，b2=a2-c2=2+2

2

所以椭圆方程为

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1
对于双曲线，2a′=||MF1|-|MF2||=2

2

-2
∴a/=

2

-1⇒a/2=3-2

2

，b/2=c/2-a/2=2

2

-2
所以双曲线方程为

x2

3-2 2

+

y2

2 2 -2

=1
（2）设Q(

t2

4

，t)
由|PQ|≥|a|得(

t2

4

-a)2+t2≥a2，t2(t2+16-8a)≥0，
t²+16-8a≥0，t²≥8a-16恒成立
则8a-16≤0，a≤2
∴a∈（-∞，2]

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想．