Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量等式求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．

解答 解：如图，

由题意，A（-c，$-\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，∴${y}_{C}=\frac{{b}^{2}}{2a}$，且x_C-c=c，得x_C=2c．
∴C（2c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即5c²=a²，解得e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．