Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．连接AC₁，则BC⊥AC₁．
由已知，侧面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连接AB₁，则点M是AB₁的中点．
又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）因为AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，
连接BD，则∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角．
设AC=BC=CC₁=a，则C₁D=a，BC₁=a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=，
所以∠C₁BD=30°，故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30°．
分析：（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，连接AC₁，则BC⊥AC₁．侧面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．又BC∩A₁C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连接AB₁，则点M是AB₁的中点，又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁，从而MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根据AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角，设AC=BC=CC₁=a，求出C₁D，BC₁，在Rt△BDC₁中，求出∠C₁BD，即可求出所求．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．