Question

（2013•延庆县一模）空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5 日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类型	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：
（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．
（II）由（I）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（III）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

10

15

=

2

3

，
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

5

15

=

1

3

，
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2

3

×

1

3

=

2

9

．
（Ⅲ）X的取值为0，1，2，
P(X=0)=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，P(X=1)=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，P(X=0)=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

．
X的分布列为：

X	0		2
P	3 7	10 21	2 21

数学期望EX=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．

点评：正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键．