Question

已知函数
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x，使f（x）=x，则称x为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断．
（2）令转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值．
（3）将函数解析式代入f（x）＜2x中，整理为，在根据基本不等式的知识求出的最小值，令此最小值大于，即可求出a的范围．
解答：解：（1）
对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
（2）解：令，
令（负值舍去）
将代入ax²-x+a=0得
（3）∵f（x）＜2x
∴
∵x＞0
∴（等号成立当）
∴
∴a的取值范围是
点评：本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力．