Question

已知函数f(x)=

a

•

b

-1，其中

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]，不等式-2＜f（x）＜5恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知函数f(x)=

a

•

b

-1，其中

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)，根据向量的内积乘法，对f（x）进行化简，从而求其周期和单调区间；
（2）由题意0≤x≤

π

2

，求出2sin(2x-

π

6

)的范围，再根据已知条件，不等式-2＜f（x）＜5对于x∈[0，

π

2

]恒成立，从而求n的范围；

解答：解：（1）∵

a

=(sinx，1)，

b

=(2sinx，

3

sin2x+n)
∴f(x)=

a

•

b

-1=2sin2x+

3

sin2x+n-1=

3

sin2x-cos2x+n=2sin(2x-

π

6

)+n
∴函数f（x）的最小正周期为π
为使f（x）单调递减，则

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ
即 

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴n-1≤2sin(2x-

π

6

)+n≤2+n
为使用不等式-2＜f（x）＜5对于x∈[0，

π

2

]恒成立，则

n-1＞-2 2+n＜5

，即-1＜n＜3，
∴实数n的取值范围是（-1，3）

点评：此题主要考查平面向量与三角函数的综合题，还考查向量的内积，这类题是高考常考的，计算时要仔细，此题是一道中档题．