Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有f（x）＜0，且f（1）=-2
（1）求f（0）及f（-1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求解不等式f（2x）-f（x²+3x）＜4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,一元二次不等式的解法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0求f（0）=0；再令x=-y=1得f（0）=f（1）+f（-1）；从而求解；
（2）可判断函数f（x）是R上的减函数，利用定义证明；
（3）由（2）知，f（2x）-f（x²+3x）＜4可化为f（2x-x²-3x）＜f（-2）；从而得x²+x-2＜0，从而解得．

解答： 解：（1）令x=y=0得，
f（0）=f（0）+f（0）；
故f（0）=0；
令x=-y=1得，
f（0）=f（1）+f（-1）；
故f（-1）=f（0）-f（1）=2；
（2）函数f（x）是R上的减函数，证明如下，
令x=-y得，f（0）=f（x）+f（-x）；
故f（x）=-f（-x）；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁），
故由f（x₂-x₁）＜0知，-f（x₂-x₁）＞0，
从而得f（x₁）-f（x₂）＞0，
则函数f（x）是R上的减函数；
（3）由（2）知，
f（2x）-f（x²+3x）＜4可化为
f（2x-x²-3x）＜f（-2）；
故x²+x-2＜0，
解得，x∈（-2，1）．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．