Question

2．若关于x的方程（$\frac{1}{9}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-2-a=0有正数解，则实数a的取值范围是（0，10）．

Answer 1

分析 利用参数分离法将方程转化，构造函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由（$\frac{1}{9}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-2-a=0得a=（$\frac{1}{9}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-2，
设f（x）=（$\frac{1}{9}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-2，
则f（x）=[（$\frac{1}{3}$）^x]²+9•（$\frac{1}{3}$）^x=[[（$\frac{1}{3}$）^x+$\frac{9}{2}$]²-$\frac{81}{4}$，
当x＞0时，0＜（$\frac{1}{3}$）^x＜1，
此时0＜f（x）＜10，
若关于x的方程（$\frac{1}{9}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-2-a=0有正数解，
则0＜a＜10，
故答案为：（0，10）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．