Question

【题目】如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（1）求证：BD⊥平面ADE；
（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2 ．

∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2

又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．

又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面ADE

（2）解：取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF= ．

过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．

以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，

∴D（0，0，0），C（﹣ ， ，0），B（0，2 ，0），E（ ，0， ），

∴ =（ ，﹣2 ， ）， =（ ，0， ）， =（﹣ ， ，0）．

设平面CDE的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴ ，设x=1得 =（1，1，﹣1）．

∴cos＜ ＞= = =﹣ ．

∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）由勾股定理得出AD=BD=2 ，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；（2）以D为原点建立坐标系，求出 和平面CDE的法向量 ，则直线BE和平面CDE所成角的正弦值为|cos＜ ＞|．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．