Question

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导函数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

6x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=-b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答：解：（I）因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．…..（6分）
所以f（x）=x³-

3

2

x²-3x+1，f（1）=-

5

2

．…..（8分）
又因为f′（1）=2×（-

3

2

）=-3，…．（10分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-

5

2

）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．…..（12分）
故答案为：6x+2y-1=0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．