Question

【题目】已知椭圆：经过点，离心率为.　

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点，过点作的平行线交椭圆于、两点.

①是否存在常数，满足？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由；

②若的面积为， 的面积为，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ①，②

【解析】

（1）利用椭圆的性质，代入数据，计算a,b，即可（2）①分别设出AB和OP的方程，结合椭圆方程，用斜率表示，计算即可②将这两个面积和转化成三角形OBA的面积，然后结合直线与圆锥曲线方程，计算最值，即可。

（1）得到，结合得到，

将点代入椭圆方程中，解得

所以椭圆方程为：

（2）

①设OP直线方程为，结合椭圆方程，代入

得到，设

，而结合焦半径公式

设AB的直线方程为，代入椭圆方程，计算出

，结合，代入

可得

②分析图可知，所求面积之和实则为，故

设直线AB的方程为，则

其中d为圆心O到直线AB的距离，则则

将直线方程代入椭圆方程，得到

解得，代入中，得到

，令，得到，

则当时，该函数取到最大值，代入中，得到。