Question

【题目】如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1 ．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）若直线AA1与底面ABC所成的角为60°，求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC

因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，

所以BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC，

又A1B⊥AC1，而A1B∩BC=B，

所以AC1⊥面A1BC，

又AC1面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC

（2）解：由题意，∠A1AC=60°，四边形ACC1A1是菱形．

设AC=2，则AB=2 ，AC1=2 ，BC1=2 ，∴ = =

设A1到平面ABC1的距离为h，则 = ，

∴h= ，

∴直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值= =

【解析】（1）推导出BC⊥侧面ACC1A1 ， 所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1 ， 得到AC1⊥面A1BC，由此能证明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等体积方法，求出A1到平面ABC1的距离，即可求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．