Question

已知圆M：(x+)²+y²=36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足=2，=0．

(1)求点C的轨迹C的方程；

(2)过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直线J的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：(1)Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故C点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是=1

(2)因为，所以四边形OASB为平行四边形．若存在l使得，则四边形OASB为矩形

∴=0，

若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，

由得

∴=＞0，与=0矛盾，故l的斜率存在．

设l的方程为y=k(x-2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

由(9k²+4)x²-36k²x+36(k²-1)=0

∴x₁+x₂=，x₁x₂=①

y₁y₂=[k(x₁-2)][k(x₂-2)]

k²[x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]=②

把①，②代入x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等．