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16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2$\sqrt{2}$sinAsinC+cos2B=1.
(1)若a=$\sqrt{2}$,b=2,求c;
(2)若$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$>4sin(A+C),求cosB的取值范围.

分析 (1)由二倍角的余弦函数公式化简已知可得2$\sqrt{2}$sinAsinC+1-2sin2B=1,结合正弦定理可得$\sqrt{2}$ac=b2,代入即可求c的值.
(2)由$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$>4sin(A+C),利用余弦定理及已知可得(5$\sqrt{2}$cosB+7)($\sqrt{2}$cosB-1)>0,
结合范围-1<cosB<1,即可求得cosB的求值范围.

解答 解:(1)∵2$\sqrt{2}$sinAsinC+cos2B=1.
⇒2$\sqrt{2}$sinAsinC+1-2sin2B=1
⇒$\sqrt{2}$ac=b2
又∵a=$\sqrt{2}$,b=2,
∴c=$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{4}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=2.
(2)∵$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$>4sin(A+C)=4sinB,
∴a2+c2>4acsinB,
又∵a2+c2=b2+2accosB,由(1)可知$\sqrt{2}$ac=b2
∴b2+2accosB>4acsinB,$\sqrt{2}$ac+2accosB>4acsinB,
∴0<2$\sqrt{2}$sinB<1+$\sqrt{2}$cosB,
∴8sin2B=8(1-cos2B)<1+2cos2B+2$\sqrt{2}$cosB,
∴10cos2B+2$\sqrt{2}$cosB-7>0,即(5$\sqrt{2}$cosB+7)($\sqrt{2}$cosB-1)>0,
又∵-1<cosB<1,
∴-1<cosB<-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$<cosB<1.

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式,正弦定理,基本不等式的应用,考查了正弦函数,余弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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