Question

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m，0）到直线AP的距离为1
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且|k|∈[

3

3

，

3

]，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=

2

+1时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程，表示出点M到直线AP的距离求得m-1的范围．
（Ⅱ）设双曲线方程，由M和A求得|AM|，又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP=45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，求得P点坐标，代入椭圆方程求得b，求得双曲线方程．

解答：解：（Ⅰ）由条件得直线AP的方程y=k（x-1），
即kx-y-k=0．
因为点M到直线AP的距离为1，
∵

|mk-k|

k2+1

=1，
即|m-1|=

k2+1

|k|

=

1+ 1 k2

．
∵|k|∈[

3

3

，

3

]，
∴

2 3

3

≤|m-1|≤2，
解得

2 3

3

+1≤m≤3或--1≤m≤1--

2 3

3

．
∴m的取值范围是[-1，1-

2 3

3

]∪[1+

2 3

3

，3]．
（Ⅱ）可设双曲线方程为x2-

y2

b2

=1(b≠0)，
由M(

2

+1，0)，A(1，0)，
得|AM|=

2

．
又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP=45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1因此，k_AP=1，k_AQ=-1（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为x=2+

2

直线AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐标是（2+

2

，1+

2

），将P点坐标代入x2-

y2

b2

=1得，b2=

2 +1

2 +3

所以所求双曲线方程为x2-

( 2 +3)

2 +1

y2=1，
即x2-(2

2

-1)y2=1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．