Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A₁，A₂，M是双曲线上任意一点，若直线MA₁，MA₂的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A₁、A₂是双曲线的左右顶点，直线MA₁与直线MA₂的斜率之积是2，求出直线MA₁与直线MA₂的斜率，然后整体代换，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得双曲线的离心率．

解答 解；设M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点，
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得到$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$，
故$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
又A₁（-a，0），A₂（a，0），
则k${\;}_{M{A}_{1}}$•k${\;}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
及$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=2，
解之得e=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．