Question

已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R.

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;

(2)讨论函数f(x)的单调性;

(3)若对于任意的a∈［,2］,不等式f(x)≤10在［,1］上恒成立,求b的取值范围.

Answer 1

本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

(1)解:f′(x)=1,由导数的几何意义得f′(2)=3,于是a=-8.

由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x+9.

(2)解:f′(x)=1.

当a≤0时,显然f′(x)＞0(x≠0).

这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)内是增函数.

当a＞0时,令f′(x)=0,

解得x=±.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x	(-∞,-)	-	(-,0)	(0,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	-	0	+
f(x)	?↗	极大值	?↘	↘	极小值	↗

所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)内是增函数,

在(-,0),(0,)内是减函数.

(3)解:由(2)知,f(x)在［,1］上的最大值为f()与f(1)中的较大者,对于任意的a∈［,2］,不等式f(x)≤10在［,1］上恒成立,当且仅当即

对任意的a∈［,2］成立.

从而得b≤,所以满足条件的b的取值范围是(-∞,］.