Question

11．已知函数f（x）=e^x-1+x-2（e为自然对数的底数）．g（x）=x²-ax-a+3．若存在实数x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0．且|x₁-x₂|≤1，则实数a的取值范围是[2，3]．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x²-ax-a+3=0在0≤x≤2有解，
即有a=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2的范围，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=e^x-1+x-2的导数为f′（x）=e^x-1+1＞0，
f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x₁）=0，解得x₁=1，
存在实数x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=0．且|x₁-x₂|≤1，
即为g（x₂）=0且|1-x₂|≤1，
即x²-ax-a+3=0在0≤x≤2有解，
即有a=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-2在0≤x≤2有解，
令t=x+1（1≤t≤3），则t+$\frac{4}{t}$-2在[1，2]递减，[2，3]递增，
可得最小值为2，最大值为3，
则a的取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．