Question

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且
（I）求椭圆C₁的方程；　 （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．

Answer 1

解：（I）设点M为（x₁，y₁），
∵F₂是抛物线y²=4x的焦点，
∴F₂（1，0）；
又|MF₂|=，由抛物线定义知
x₁+1=，即x₁=；
由M是C₁与C₂的交点，
∴y₁²=4x₁，即y₁=±，这里取y₁=；
又点M（，）在C₁上，
∴+=1，且b²=a²-1，
∴9a⁴-37a²+4=0，∴（舍去），
∴a²=4，b²=3；
∴椭圆C₁的方程为：
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则
∴消去y，得7x²-8mx+4m²-12=0；
∵点A、C在椭圆C₁上，
∴（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，即m²＜7，∴-＜m＜；
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，y₁+y₂=（-x₁+m）+（-x₂+m）=-（x₁+x₂）+2m=-+2m=，
∴AC的中点坐标为，
由菱形ABCD知，点也在直线BD：7x-7y+1=0上，
即7×-7×+1=0，∴m=-1，由m=-1∈知：
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．
分析：（I）设点M为（x₁，y₁），由F₂是抛物线y²=4x的焦点，知F₂（1，0）；|MF₂|=，由抛物线定义知x₁+1=，即x₁=；由M是C₁与C₂的交点，y₁²=4x₁，由此能求出椭圆C₁的方程．
（II）直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，由，得7x²-8mx+4m²-12=0．由点A、C在椭圆C₁上，知（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，由此能导出直线AC的方程．
点评：本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等介转化．