Question

如图，已知直角梯形ABCD的上底BC＝，BC∥AD，BC＝AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形.

(1)证明：AB⊥PB；

(2)求三棱锥A－PBD的体积.

Answer 1

(1)在直角梯形ABCD中，

因为AD＝2，BC＝，CD＝2，

所以AB＝＝.

因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，PB＝＝.

因为BC∥AD所以AD⊥平面PDC，

所以在Rt△PAD中，

PA＝＝＝2.

所以在△PAB中，PA²＝AB²＋PB²，所以AB⊥PB.

(2)过P作PE⊥DC，△PCD为等边三角形，

∴E为DC中点，易得PE⊥平面ABCD，

且PE＝，所以V_A－PBD＝V_P－ABD＝S_△ABD·PE

＝×(·AD·DC)·

＝×2×2×＝.